Description
Zeit und Raum trennen dich und mich.
时空将你我分开。
\(B\) 君在玩一个游戏，这个游戏由 \(n\) 个灯和 \(n\) 个开关组成，给定这 \(n\) 个灯的初始状态，下标为
从 1 到 \(n\) 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏 的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 \(i\) 个开关时，所有编号为 \(i\) 的约数（包括 1 和 \(i\)）的灯的状态都会被 改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。\(B\) 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机 操作一个开关，直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多， \(B\) 君想到这样的一个优化。如果当前局面， 可以通过操作小于等于 \(k\) 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个 策略显然小于等于 \(k\) 步）操作这些开关。\(B\) 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 \(k\) 步，使 用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。这个期望可能很大，但是 \(B\) 君发现这个期望乘以 \(n\) 的阶乘一定 是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。Input
第一行两个整数 \(n, k\)。
接下来一行 \(n\) 个整数，每个整数是 0 或者 1，其中第 \(i\) 个整数表示第 \(i\) 个灯的初始情况。\(1 \leq n \leq 100000, 0 \leq k \leq n\)；Output
输出一行，为操作次数的期望乘以 \(n\) 的阶乘对 100003 取模之后的结果。
Sample Input
4 0
0 0 1 1
Sample Output
512
想法
又是个小文艺题，原谅我有点激动。。。
首先从 \(n\) 到 \(1\) 扫一遍，哪些灯需要被按1次是可以知道的，而且必须按这些灯。
如果不小心按了其他的灯，就必须再按一次变回来。神奇的 \(dp\) 方式，设 \(f[i]\) 表示从最少需要按 \(i\) 次的状态变到最少需要按 \(i-1\) 次的状态的期望步数。
随机按一次，按中 \(i\) 个需要按的键之一的概率是 \(\frac{i}{n}\) ，按后变到了至少按 \(i-1\) 次的状态，步数为1
若没有按中需要的键，概率是 \(\frac{n-i}{n}\) ， 此时至少需要按 \(i+1\) 个键，应再按 \(f[i+1]\) 次恢复至少按 \(i\) 次的状态，再按 \(f[i]\) 次到至少 \(i-1\) 次的状态，总共步数为 \(1+f[i+1]+f[i]\)
综上所述，可列出式子
$ f[i]=\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}(1+f[i+1]+f[i]) $ 合并同类项，整理一下得出 $ f[i]=\frac{n+(n-i)f[i+1]}{i} $ 边界条件 \(f[n]=1\)从 \(n\) 往前求 \(f[]\) ，一直求到 \(f[k+1]\)
扫一遍得出原状态至少按的次数 \(t\) 若 \(t \leq k\) ，则总期望值就是 \(t\) ； 否则是 \(k+\sum\limits_{i=k+1}^t f[i]\)最后别忘了乘以 \(n\) 的阶乘！
代码
#include#include #include #define xzy 100003using namespace std;const int N = 100005;typedef long long ll;int n,k,t;int a[N];int Pow_mod(int x,int y){ int ret=1; while(y){ if(y&1) ret=((ll)ret*x)%xzy; x=((ll)x*x)%xzy; y>>=1; } return ret;}int f[N],inv[N];int main(){ scanf("%d%d",&n,&k); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); t=0; for(int i=n;i>0;i--){ if(!a[i]) continue; t++; for(int j=1;j*j<=i;j++) if(i%j==0){ a[j]^=1; if(j*j!=i) a[i/j]^=1; } } inv[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=xzy-1ll*(xzy/i)*inv[xzy%i]%xzy; int ans=k; f[n]=1; for(int i=n-1;i>k;i--) f[i]=(1ll*(n-i)*f[i+1]%xzy+n)%xzy*inv[i]%xzy; if(t<=k) ans=t; else for(int i=k+1;i<=t;i++) ans=(ans+f[i])%xzy; for(int i=2;i<=n;i++) ans=((ll)ans*i)%xzy; printf("%d\n",ans); return 0;}